Tugas 11 Matematika dan Ilmu Alamiah Dasar

DEFINISI FUNGSI SERTA MENENTUKAN DOMAIN, KODOMAIN, DAN RANGE

Definisi Fungsi

Fungsi adalah suatu relasi yang memasangkan atau memetakan setiap anggota himpunan A ke tepat satu anggota himpunan B.

Relasi adalah suatu aturan yang memasangkan anggota himpunan A ke anggota himpunan B dengan syarat himpunan A dan himpunan B bukanlah himpunan kosong.

Fungsi (Pemetaan) dapat dinyatakan dalam bentuk :

·      Diagram Panah

·      Diagram Kartesius

·      Himpunan Pasangan Berurutan

·     
Notasi Fungsi

·      RumusFungsi, f(x) = y

Domain, Kodomain, dan Range

Domain atau Daerah Asal, yaitu A = {1, 2, 3, 4}

Kodomain atau Daerah Kawan, yaitu B = {a, b, c, d, e}

Range atau Daerah Hasil, yaitu B = {a, b, c, d}

Soal dan Pembahasan

1. 

Pembahasan

Domain atau Daerah Asal, yaitu A = {1, 2, 3, 4}

Kodomain atau Daerah Kawan, yaitu B = {a, b, c, d, e}

Range atau Daerah Hasil, yaitu {b, c, d, e}

2.     

Tentukan domain, kodomain, dan range !

Pembahasan

Domain atau Daerah Asal, yaitu A = {1, 2, 3, 4, 5}

Kodomain atau Daerah Kawan, yaitu B = {2, 4, 6, 8}

Range atau Daerah Hasil, yaitu {4, 6, 8}

3.  Diketahui himpunan a = {3, 5, 7, 9, 11} dan himpunan b = {5, 7, 11, 15, 19, 23, 27}. Himpunan a merupakan setengah dari himpunan b. Tentukan domain, kodomain, dan range !

Pembahasan

Domain atau Daerah Asal, yaitu a = {3, 5, 7, 9, 11}

Kodomain atau Daerah Kawan, yaitu B = {5, 7, 11, 15, 19, 23, 27}

Range atau Daerah Hasil, yaitu {5, 7, 11, 15, 19}

4.  Jika himpunan A = {Alvena, Cantika, Pingkan, Rio, Shafa}, himpunan B = {Agiayu, Citra, Diandra, Putri, Rayhan, Sandy, Virna}, dan relasi dari kedua himpunan tersebut adalah berdasarkan inisial huruf pertama dari nama, maka tentukan domain, kodomain, dan range !

Pembahasan

Domain atau Daerah Asal, yaitu A = { Alvena, Cantika, Pingkan, Rio, Shafa }

Kodomain atau Daerah Kawan, yaitu B = { Agiayu, Citra, Diandra, Putri, Rayhan, Shandy, Virna}

Range atau Daerah Hasil, yaitu {Agiayu, Citra, Putri, Rayhan, Shandy}

Tugas 10 Matematika dan Ilmu Alamiah Dasar

RELASI KOMPOSISI DAN RELASI INVERS

Relasi Himpunan A ke Himpunan B

Pemasangan anggota himpunan A ke anggota himpunan B dengan syarat himpunan A dan himpunan B bukanlah himpunan kosong.

Fungsi (Pemetaan) dari himpunan A ke himpunan B

Relasi yang memasangkan atau memetakan setiap anggota himpunan A ke tepat satu anggota himpunan B.

Fungsi (Pemetaan) dapat dinyatakan dalam bentuk :

·      Diagram Panah

·      Diagram Kartesius

·      Himpunan Pasangan Berurutan

·     
Notasi Fungsi

·      RumusFungsi, f(x) = y

Komposisi Fungsi

Jadi,

h (x) =  g (f(x)) atau h (x) = (g ◦ f)(x) = g(f(x))

g ◦ f dibaca g bundaran f atau g komposisi f dan h disebut fungsi komposisi.

Sehingga,

(g ◦ f)(x) = g (f(x))

(f ◦ g)(x) = f (g(x))

Fungsi Invers

Fungsi f^-1 disebut invers dari fungsi f

Himpunan A dan himpunan B merupakan korespondensi satu-satu. Fungsi f memetakan x ke y ditulis y = f(x) dan fungsi f^-1 memetakan y ke x ditulis x = f^-1(y).

f(x) = y     menjadi    f^-1(y) = x

Soal dan Pembahasan

1.      Jika f(x) = x + 1 maka f(2x) = ...

Pembahasan

f(x)    =   x + 1

f(2x)  =   2x + 1

          =   2x + 2 - 1

          =   2(x + 1) - 1

          =   2 f(x) -1

2.     Diketahui f(x) = x² + 4x – 5, g(x) = 2x – 1. Hasil dari fungsi komposisi (g ◦ f)(x) adalah ...

Pembahasan

(g ◦ f)(x)   =   g(f(x))

                 =   g(x² + 4x – 5)

                 =   2(x² + 4x – 5) – 1

                 =   2x² + 8x – 11

3.      Jika f(x) = x + 1 dan (f ◦ g)(x) = 4x² + 3 maka g(x) = ...

Pembahasan

(f ◦ g)(x)   =   4x² + 3

f(g(x))       =   4x² + 3

f(g(x)) artinya mencari nilai f(x) dengan x diganti dengan g(x).

g(x) + 1     =   4x² + 3

g(x)           =   4x² + 2

4.      Jika f(x) = 3^{x – 1} maka f ^{– 1}(81) = ...

Pembahasan

Misalkan, f ^{– 1} (81) = x maka x = ...

f ^{– 1} (81) = x          

f(x)        =   81

3^{x – 1}      =   81

3^{x – 1}     =   3⁴

x – 1      =   4

x            =   5

5.   Suatu pemetaan dengan (g ◦ f)(x) = 2x² + 4x + 5 dan g(x) = 2x + 3 maka f(x) = ...

       Pembahasan

(g ◦ f)(x)   =   2x² + 4x + 5

g(f(x))       =   2x² + 4x + 5

2f(x) + 3   =   2x² + 4x + 5

2f(x)         =   2x² + 4x + 2
f(x)           =   2x² + 4x + 2    :     2

         =   x² + 2x + 1

Tugas 9 Matematika dan Ilmu Alamiah Dasar

Himpunan Diagram Venn dan Bilangan

Himpunan adalah segala koleksi benda-benda tertentu yang dianggap sebagai satu kesatuan. Terdapat beberapa macam himpunan, diantaranya adalah sebagai berikut :

1.    Himpunan Kosong

      Himpunan yang tidak mempunyai anggota dan ditulis dengan simbol  Ø atau { }. 

2.    Himpunan Semesta

     Himpunan yang memuat semua anggota yang sedang dibicarakan dan biasanya ditulis dengan simbol S  atau U (Universal).

3.   Himpunan Bilangan

     Terdiri dari :

      -       Himpunan Bilangan Asli → N = {1, 2, 3, … }

      -       Himpunan Bilangan Cacah → C = {0, 1, 2, 3, … }

      -       Himpunan Bilangan Bulat → Z = { … , – 1, 0, 1, … }

      -       Himpunan Bilangan Rasional → Q = {p/q : p, q Z, q 0}

      -       Himpunan Bilangan Real : R

4.    Himpunan Terhingga (Finite)

     Himpunan yang banyak anggotanya terhingga, yaitu himpunan kosong atau himpunan yang mempunyai n elemen.

5.    Himpunan Tak Terhingga (Infinite)

    Himpunan yang berkorespondensi satu – satu dengan bilangan asli, yaitu himpunan yang banyak anggotanya tak terhingga.

6.    Himpunan Terhitung (Countable)

      Himpunan terhingga atau denumerable.

7.    Himpunan Tak Terhitung (Uncountable)

      Himpunan yang tidak terhitung. Contohnya ada pada himpunan bilangan real. 

Sedangkan Diagram Venn adalah diagram yang menunjukkan semua kemungkinan hubungan logika dan hipotesis diantara sekelompok (set/himpunan/grup) benda atau objek. Diagram Venn merupakan gambar himpunan yang digunakan untuk menyatakan hubungan beberapa himpunan. 

Terdapat beberapa macam bentuk Diagram Venn, yaitu :

1.       Jika anggota himpunan A sama dengan anggota himpunan B.

2.       Jika anggota himpunan A tidak ada yang sama dengan anggota himpunan B.

3.       Jika ada anggota himpunan A juga merupakan anggota himpunan B.

4.       Jika semua anggota himpunan B adalah anggota himpuan A.

Soal dan Pembahasan

1.    Diketahui :

S = {bilangan asli}

A = {bilangan ganjil}

B = {bilangan prima > 2}

Himpunan diatas dapat dinyatakan dalam diagram venn. Gambarkan diagram venn tersebut !

Pembahasan

S = {1, 2, 3, 4, 5, .....}

A = {1, 3, 5, 7, 11, .....}

B = {3, 5, 7, 11, .....}

      
Karena semua anggota himpunan B dimuat pada himpunan A, maka kurva B ada di dalam kurva A.

Jadi, gambar diagram venn yang benara adalah sebagai berikut :

2.    Diketahui :

P = {faktor dari 10}

Q = {tiga bilangan prima pertama}

Maka P ᴜ Q = ...

Gambarkan diagram venn nya !

Pembahasan

P = {1, 2, 5, 10}

Q = {2, 3, 5}

Maka, P ᴜ Q = {1, 2, 3, 5, 10}

Diagram Venn

3.    Diagram venn dibawah menunjukkan banyak siswa yang mengikuti ekstrakurikuler basket dan voli dalam sebuah kelas. Banyak siswa yang tidak mengikuti ekstrakurikuler basket adalah ...

Pembahasan

Banyak siswa yang tidak mengikuti ekstrakurikuler basket ditunjukkan oleh daerah diluar lingkaran basket pada diagram venn.

Yang tidak mengikuti ekstrakurikuler basket : 13 + 4 = 17

Jadi, terdapat 17 orang yang tidak mengikuti ekstrakurikuler basket.

4.     Dalam seleksi penerima beasiswa, setiap siswa harus lulus tes Matematika dan Bahasa. Dari 250 peserta, terdapat 165 orang dinyatakan lulus tes Matematika dan 155 orang dinyatakan lulus tes Bahasa. Banyaknya siswa yang dinyatakan lulus sebagai penerima beasiswa adalah ...

Gambarkan diagram venn nya !

Pembahasan

n(S)  = 180 orang

n(M) = 165 orang

n(B) = 155 orang

n(M ᴜ B) = x orang

n(S) = n(M ᴜ B) = n(M) + n(B) – n(M n B)

  250 = 165 + 155 - x

x   = 320 - 250

x   = 70

Jadi, banyaknya siswa yang dinyatakan lulus sebagai penerima beasiswa adalah 70 orang.

Diagram Venn

5.   Sebuah Rumah Sakit terdapat pasien sebanyak 80 orang. Terdapat 40 orang menderita Demam Berdarah (DBD) dan terdapat 35 orang menderita Diare. Pasien yang menderita DBD dan Diare terdapat 8 orang. Banyaknya pasien yang tidak menderita DBD atau Diare adalah ...

Pembahasan

Jumlah pasien            =  80 orang

Demam Berdarah       =  40 orang

Diare                         =  35 orang

DBD dan Diare           =  8 orang

Bukan DBD atau Diare           =  x orang

x = 80 – (40 + 35 – 8)

x = 80 – 67

x = 13

Jadi, banyaknya pasien yang tidak menderita DBD atau Diare adalah 13 orang.

Diagram Venn

Tugas 8 Matematika dan Ilmu Alamiah Dasar

Dampak Dari Perkembangan IPTEK di Berbagai Bidang

Ilmu Pengetahuan dan Teknologi atau yang biasa disebut dengan IPTEK adalah sebuah sumber informasi yang dapat meningkatkan pengetahuan dan wawasan seseorang  dibidang teknologi. Dengan kata lain, IPTEK merupakan segala sesuatu yang berhubungan dengan teknologi, baik itu penemuan terbaru tentang teknologi maupun perkembangan dibidang teknologi.

IPTEK telah berkembang sangat pesat di masa modern ini. Dalam perkembangannya tentu berakibat banyak dampak pada berbagai bidang. Perkembangan IPTEK dianggap sebagai solusi dari permasalahan yang ada, karena kemajuan IPTEK saat ini benar-benar telah diakui dan dirasakan memberikan banyak kemudahan dan kenyamanan bagi kehidupan manusia.

Namun semakin berkembang pesatnya IPTEK itu sendiri, akan menimbulkan dampak negatif kepada manusia, meskipun IPTEK juga banyak memberikan dampak positif bagi kehidupan manusia.

Dampak positif dan dampak negatif dari berkembangnya IPTEK saat ini di berbagai bidang adalah sebagai berikut :

1.         Bidang Informasi dan Komunikasi

Dengan adanya IPTEK, telah terjadi kemajuan yang sangat pesat di bidang informasi dan komunikasi ini. Kemajuan tersebut menimbulkan beberapa dampak positif yang telah dirasakan oleh masyarakat luas. Dampak positif tersebut adalah sebagai berikut :

•  Dapat berkomunikasi dengan siapapun dari jarak yang dekat sampai jarak yang sangat jauh hanya dengan melalui handphone dan berbagai macam social media yang ada.

•  Informasi-informasi yang akurat dan terbaru di bumi bagian manapun akan lebih cepat didapatkan melalui internet.

•   Layanan bank dapat diperoleh dengan sangat mudah.

Selain berbagai macam dampak positif yang telah dirasakan oleh masyarakat luas, ternyata IPTEK juga dapat menimbulkan dampak negatif. Beberapa dampak negatifnya adalah sebagai berikut :

•   Banyak jasa komunikasi yang dimanfaatkan oleh jaringan teroris.

•  Banyak pihak yang tidak bertanggung jawab telah menyalahgunakan informasi dan situs tertentu yang terdapat di internet untuk tujuan tertentu.

Masih banyak lagi dampak positif maupun negatif di bidang informasi dan komunikasi yang timbul karena adanya kemajuan IPTEK yang sangat pesat.

2.         Bidang Ekonomi dan Industri

Perekonomian suatu negara mulai memperlihatkan perubahan yang cukup signifikan dengan adanya perkembangan IPTEK. Perubahan yang dimaksud adalah kemajuan di bidang ekonomi dan industri yang saat ini telah berkembang sangat pesat. Dengan adanya kemajuan tersebut akan menimbulkan beberapa dampak pada bidang ini, baik dampak positif maupun dampak negatif.

Dampak positif yang ditimbulkan adalah sebagai berikut :

•  Adanya persaingan dalam dunia kerja yang dapat menuntut pekerja untuk selalu menambah skill dan pengetahuan yang dimiliki.

•   Kemajauan di bidang ekonomi ini mampu menjadikan produk kedokteran menjadi sebuah komoditi.

•   Mengurangi pemakaian bahan-bahan alami yang semakin langka.

•   Meningkatnya produktivitas dunia industri.

•   Mudah mendapatkan barang yang diinginkan melalui jual beli online.

•  Mudah mendapatkan barang yang dibutuhkan oleh masyarakat meskipun barang tersebut belum diproduksi di dalam negeri.

•    Pertumbuhan ekonomi yang semakin tinggi.

Dampak negatif yang ditimbulkan adalah sebagai berikut :

•  Adanya aksi penipuan dalam proses jual beli online yang dilakukan oleh pihak tak bertanggung jawab dan akan merugikan banyak pihak.

•    Adanya sifat konsumtif dan boros.

•  Akan menimbulkan pengangguran bagi tenaga kerja yang tidak mempunyai kualifikasi yang dibutuhkan.

•   Masuknya tenaga kerja asing yang dapat mengakibatkan tersaingnya tenaga kerja dalam negeri.

•  Produk-produk dalam negeri akan kalah bersaing dengan produk-produk luar negeri jika tidak ditingkatkan kualitasnya, karena saat ini banyak produk impor yang dipasarkan di dalam negeri dengan kualitas yang lebih bagus.

Masih terdapat banyak dampak, baik dampak positif maupun dampak negatif di bidang ini yang timbul karena adanya kemajuan IPTEK yang sangat pesat.

3.         Bidang Sosial dan Budaya

Perkembangan IPTEK sangat mempengaruhi masyarakat dalam negeri di bidang sosial dan budaya. Masyarakat harus dapat lebih selektif dan bersifat kritis terhadap perkembangan IPTEK yang semakin pesat. Dengan adanya perkembangan IPTEK tersebut, dapat menimbulkan berbagai macam dampak pada bidang ini, baik dampak positif maupun dampak negatif.

Berikut ini adalah dampak positif yang ditimbulkan, yaitu :

•   Daya pikir individu semakin berkembang dalam suatu bidang.

•  Individu dapat dengan cepat dan akurat dalam mencari dan mengumpulkan data untuk bahan diskusi mereka melalui media berbasis teknologi.

•  Masyarakat tidak perlu bersusah payah untuk dapat mengetahui informasi mengenai berita. Karena cukup dengan membuka internet, masyarakat sudah dapat membaca berita melalui media online.

Sedangkan dampak ngatif yang ditimbulkan adalah sebagai berikut :

•  Adanya pemanfaatan jasa komunikasi oleh jaringan teroris yang dapat memudahkan mereka dalam melakukan tindak kejahatan dan kriminalitas.

•  Dengan adanya teknologi yang canggih, manusia akan menjadi malas karena telah dimanjakan oleh teknologi tersebut.

•  Semakin banyaknya kenakalan dan tindakan yang menyimpang dikalangan remaja dan pelajar dengan mengakses situs-situs yang dapat merusak moral bangsa.

• Terjadi penyalahgunaan media teknologi sebagai sarana pencarian yang tidak ada hubungannya dengan ilmu pengetahuan dan hal tersebut dapat merendahkan moral bangsa serta sumber daya manusia yang tidak berkualitas.

Masih banyak lagi dampak positif maupun negatif di bidang sosial dan budaya yang timbul karena adanya kemajuan IPTEK yang sangat pesat.

4.         Bidang Politik

Selain lain dapat menimbulkan berbagai dampak dalam beberapa bidang yang telah diuraikan diatas, perkembangan IPTEK yang sangat pesat juga dapat menimbulkan berbagai dampak dalam bidang politik, baik dampak positif maupun dampak negatif.

Berikut ini adalah dampak positif yang disebabkan karena perkembangan IPTEK, yaitu:

•  Dapat memudahkan kegiatan komunikasi untuk keperluan politik yang memudahkan sampainya berita lebih cepat serta dilakukan secara efisien dan nyaman. Seperti misalnya dalam mengajukan pendapat ke wakil rakyat cukup dengan menggunaka e-mail.

• Terdapat kecenderungan tumbuh berkembangnya regionalisme di bidang politik internasional.

Sedangkan dampak negatif yang ditimbulkan adalah sebagai berikut :

•   Dengan semakin canggihnya alat-alat pendeteksi, maka terdapat kekurangan privacy suatu negara yang mengakibatkan kerahasiaan suatu negara tersebut tidak terjamin.

Masih banyak lagi dampak positif maupun negatif di bidang politik yang timbul karena adanya kemajuan IPTEK yang sangat pesat.

Dari uraian di atas dapat disimpulkan bahwa kemajuan teknologi adalah sesuatu yang tidak dapat dihindari karena kemajuan tersebut akan berjalan sesuai dengan kemajuan ilmu pengetahuan.