Tugas 10 Matematika dan Ilmu Alamiah Dasar

RELASI KOMPOSISI DAN RELASI INVERS

Relasi Himpunan A ke Himpunan B

Pemasangan anggota himpunan A ke anggota himpunan B dengan syarat himpunan A dan himpunan B bukanlah himpunan kosong.

Fungsi (Pemetaan) dari himpunan A ke himpunan B

Relasi yang memasangkan atau memetakan setiap anggota himpunan A ke tepat satu anggota himpunan B.

Fungsi (Pemetaan) dapat dinyatakan dalam bentuk :

·      Diagram Panah

·      Diagram Kartesius

·      Himpunan Pasangan Berurutan

·     
Notasi Fungsi

·      RumusFungsi, f(x) = y

Komposisi Fungsi

Jadi,

h (x) =  g (f(x)) atau h (x) = (g ◦ f)(x) = g(f(x))

g ◦ f dibaca g bundaran f atau g komposisi f dan h disebut fungsi komposisi.

Sehingga,

(g ◦ f)(x) = g (f(x))

(f ◦ g)(x) = f (g(x))

Fungsi Invers

Fungsi f^-1 disebut invers dari fungsi f

Himpunan A dan himpunan B merupakan korespondensi satu-satu. Fungsi f memetakan x ke y ditulis y = f(x) dan fungsi f^-1 memetakan y ke x ditulis x = f^-1(y).

f(x) = y     menjadi    f^-1(y) = x

Soal dan Pembahasan

1.      Jika f(x) = x + 1 maka f(2x) = ...

Pembahasan

f(x)    =   x + 1

f(2x)  =   2x + 1

          =   2x + 2 - 1

          =   2(x + 1) - 1

          =   2 f(x) -1

2.     Diketahui f(x) = x² + 4x – 5, g(x) = 2x – 1. Hasil dari fungsi komposisi (g ◦ f)(x) adalah ...

Pembahasan

(g ◦ f)(x)   =   g(f(x))

                 =   g(x² + 4x – 5)

                 =   2(x² + 4x – 5) – 1

                 =   2x² + 8x – 11

3.      Jika f(x) = x + 1 dan (f ◦ g)(x) = 4x² + 3 maka g(x) = ...

Pembahasan

(f ◦ g)(x)   =   4x² + 3

f(g(x))       =   4x² + 3

f(g(x)) artinya mencari nilai f(x) dengan x diganti dengan g(x).

g(x) + 1     =   4x² + 3

g(x)           =   4x² + 2

4.      Jika f(x) = 3^{x – 1} maka f ^{– 1}(81) = ...

Pembahasan

Misalkan, f ^{– 1} (81) = x maka x = ...

f ^{– 1} (81) = x          

f(x)        =   81

3^{x – 1}      =   81

3^{x – 1}     =   3⁴

x – 1      =   4

x            =   5

5.   Suatu pemetaan dengan (g ◦ f)(x) = 2x² + 4x + 5 dan g(x) = 2x + 3 maka f(x) = ...

       Pembahasan

(g ◦ f)(x)   =   2x² + 4x + 5

g(f(x))       =   2x² + 4x + 5

2f(x) + 3   =   2x² + 4x + 5

2f(x)         =   2x² + 4x + 2
f(x)           =   2x² + 4x + 2    :     2

         =   x² + 2x + 1

Tugas 9 Matematika dan Ilmu Alamiah Dasar

Himpunan Diagram Venn dan Bilangan

Himpunan adalah segala koleksi benda-benda tertentu yang dianggap sebagai satu kesatuan. Terdapat beberapa macam himpunan, diantaranya adalah sebagai berikut :

1.    Himpunan Kosong

      Himpunan yang tidak mempunyai anggota dan ditulis dengan simbol  Ø atau { }. 

2.    Himpunan Semesta

     Himpunan yang memuat semua anggota yang sedang dibicarakan dan biasanya ditulis dengan simbol S  atau U (Universal).

3.   Himpunan Bilangan

     Terdiri dari :

      -       Himpunan Bilangan Asli → N = {1, 2, 3, … }

      -       Himpunan Bilangan Cacah → C = {0, 1, 2, 3, … }

      -       Himpunan Bilangan Bulat → Z = { … , – 1, 0, 1, … }

      -       Himpunan Bilangan Rasional → Q = {p/q : p, q Z, q 0}

      -       Himpunan Bilangan Real : R

4.    Himpunan Terhingga (Finite)

     Himpunan yang banyak anggotanya terhingga, yaitu himpunan kosong atau himpunan yang mempunyai n elemen.

5.    Himpunan Tak Terhingga (Infinite)

    Himpunan yang berkorespondensi satu – satu dengan bilangan asli, yaitu himpunan yang banyak anggotanya tak terhingga.

6.    Himpunan Terhitung (Countable)

      Himpunan terhingga atau denumerable.

7.    Himpunan Tak Terhitung (Uncountable)

      Himpunan yang tidak terhitung. Contohnya ada pada himpunan bilangan real. 

Sedangkan Diagram Venn adalah diagram yang menunjukkan semua kemungkinan hubungan logika dan hipotesis diantara sekelompok (set/himpunan/grup) benda atau objek. Diagram Venn merupakan gambar himpunan yang digunakan untuk menyatakan hubungan beberapa himpunan. 

Terdapat beberapa macam bentuk Diagram Venn, yaitu :

1.       Jika anggota himpunan A sama dengan anggota himpunan B.

2.       Jika anggota himpunan A tidak ada yang sama dengan anggota himpunan B.

3.       Jika ada anggota himpunan A juga merupakan anggota himpunan B.

4.       Jika semua anggota himpunan B adalah anggota himpuan A.

Soal dan Pembahasan

1.    Diketahui :

S = {bilangan asli}

A = {bilangan ganjil}

B = {bilangan prima > 2}

Himpunan diatas dapat dinyatakan dalam diagram venn. Gambarkan diagram venn tersebut !

Pembahasan

S = {1, 2, 3, 4, 5, .....}

A = {1, 3, 5, 7, 11, .....}

B = {3, 5, 7, 11, .....}

      
Karena semua anggota himpunan B dimuat pada himpunan A, maka kurva B ada di dalam kurva A.

Jadi, gambar diagram venn yang benara adalah sebagai berikut :

2.    Diketahui :

P = {faktor dari 10}

Q = {tiga bilangan prima pertama}

Maka P ᴜ Q = ...

Gambarkan diagram venn nya !

Pembahasan

P = {1, 2, 5, 10}

Q = {2, 3, 5}

Maka, P ᴜ Q = {1, 2, 3, 5, 10}

Diagram Venn

3.    Diagram venn dibawah menunjukkan banyak siswa yang mengikuti ekstrakurikuler basket dan voli dalam sebuah kelas. Banyak siswa yang tidak mengikuti ekstrakurikuler basket adalah ...

Pembahasan

Banyak siswa yang tidak mengikuti ekstrakurikuler basket ditunjukkan oleh daerah diluar lingkaran basket pada diagram venn.

Yang tidak mengikuti ekstrakurikuler basket : 13 + 4 = 17

Jadi, terdapat 17 orang yang tidak mengikuti ekstrakurikuler basket.

4.     Dalam seleksi penerima beasiswa, setiap siswa harus lulus tes Matematika dan Bahasa. Dari 250 peserta, terdapat 165 orang dinyatakan lulus tes Matematika dan 155 orang dinyatakan lulus tes Bahasa. Banyaknya siswa yang dinyatakan lulus sebagai penerima beasiswa adalah ...

Gambarkan diagram venn nya !

Pembahasan

n(S)  = 180 orang

n(M) = 165 orang

n(B) = 155 orang

n(M ᴜ B) = x orang

n(S) = n(M ᴜ B) = n(M) + n(B) – n(M n B)

  250 = 165 + 155 - x

x   = 320 - 250

x   = 70

Jadi, banyaknya siswa yang dinyatakan lulus sebagai penerima beasiswa adalah 70 orang.

Diagram Venn

5.   Sebuah Rumah Sakit terdapat pasien sebanyak 80 orang. Terdapat 40 orang menderita Demam Berdarah (DBD) dan terdapat 35 orang menderita Diare. Pasien yang menderita DBD dan Diare terdapat 8 orang. Banyaknya pasien yang tidak menderita DBD atau Diare adalah ...

Pembahasan

Jumlah pasien            =  80 orang

Demam Berdarah       =  40 orang

Diare                         =  35 orang

DBD dan Diare           =  8 orang

Bukan DBD atau Diare           =  x orang

x = 80 – (40 + 35 – 8)

x = 80 – 67

x = 13

Jadi, banyaknya pasien yang tidak menderita DBD atau Diare adalah 13 orang.

Diagram Venn